کسر مسلسل به کسری به شکل روبرو می‌گویند

deductions-machine-gun

که در آن عدد صحیحa با کسری جمع شده که صورت آن واحد و مخرجش عدد صحیحa1 با کسری جمع شده که در صورت آن واحد و در مخرجش عدد a2جمع شده‌است با کسر … الی آخر.

نویسنده: اِلین.ج.تاتام (۱)
مترجم: محمدقاسم وحیدی اصل
تساوی

نشان می دهد که می توان کسر معمولی ۷۶/۳۱۸ به صورت یک کسر مسلسل نوشت. اگر همه ی صورت ها در کسر مسلسل ۱ باشند (مانند مثال بالا) آن را کسر مسلسل ساده می نامند.
شاید جالب ترین خاصیت مقدماتی کسرهای مسلسل، رابطه ی نزدیک آن ها با الگوریتم اقلیدسی برای یافتن بزرگ ترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح باشد:

تذکر:

برای به دست آوردن کسر بالا بنویسید:

و سپس به جای

و به همین ترتیب تا الی آخر

تذکر:

۷۶÷۳۱۸ خارج قسمت ۴ و باقی مانده ۱۴ را می دهد و به همین ترتیب الی آخر.
آخرین باقی مانده، ۲، ب.م.م ۳۱۸ و ۷۶ است.
شباهت چشمگیر عبارت های دو ستون موازی در بالا (به خصوص نسبت به ارقام ۴، ۵، ۲ و ۳) برخی نویسندگان را به این نتیجه رسانده است که بگویند کسرهای مسلسل پیش تر «البته نه در نمادهای امروزی» بر یونانیان معلوم بوده است.
به نظر می رسد که رافائل بومبلی نخستین کسی باشد که برای اولین بار به طور صریح از کسرهای مسلسل (نامتناهی) استفاده کرده است، آن جا که مطلب زیر را در سال ۱۵۷۲ نوشت(در این جا از نمادهای امروزی استفاده شده است):

تشخیص داده است.
عبارت بالا برای کسر مسلسل نامتناهی» نامیده می شود و می توان آن را از برابر نهادن با

بنابراین:

حال کافی است که با جایگزین کردن این فرایند برای یافتن دنباله ای نامتناهی از تقریب های متوالی برای
نخستین سه همگرای (۲) زیرا را به دست می دهد:

این دنباله به همگراست و به طوری که در شکل [۳]-۱ نشان داده شده است عضوهای آن حولنوسان می کنند.

جان والیس (ح ۱۶۸۵ م) بسیاری از خواص این همگراها، از جمله فرمول های بازگشتی ای را پیدا کرد که همگرای معینی مثل
را بر حسب دو مجموعه از N ها و Dهای پیش تر بیان می کنند. یکی از مثال های جالب بحث شده توسط والیس همان است که ویلیام برونکر (۳)(۱۶۸۵) هم کشف کرده است:

شکلی نوین از نمادگذاری توسط کریستیان هویگنس (۴)(۱۶۲۹-۱۶۹۵) مطرح شد. وی نسبت ۲۶۴۰۸۵۸/۷۷۷۰۸۴۳۱
را به این شکل نوشت:

این نسبت در واقع در حل یک مسئله ی عملی که او در ۱۶۸۰ در طراحی چرخ های دندانه دار آسمان نمای خود به آن برخورد کرده بود مطرح شد. حرکت سالانه ی زمین در ۳۶۵ روزاست، در حالی که حرکت زحل است. با تبدیل به واحد یک شصتم ثانیه، نسبت ۴۳۱،۷۰۸، ۷۷ به ۸۵۸، ۶۴۰، ۲ مانند دوره ی زحل به دوره ی زمانی است که طی آن زمین گردش خود به دور خورشید را انجام می دهد. کسر مسلسل ساده ی متناظر داده شده در بالا، امروزه گاهی با نمادگذاری ساده تر (۰۰۰، ۴،۱، ۵، ۱، ۲، ۲؛ ۲۹) نشان داده می شود که به وسیله ی دیریکله (۵) در ۱۸۵۴ معرفی شد.
هویگنس میل داشت دو عدد صحیح کوچک تر را با تقریباً همان نسبت پیدا کند به طوری که هیچ زوجی از اعداد صحیح کوچک تر تقریب نزدیک تری را عاید نکند. با نشان دادن کسر مسلسل ساده در شکل امروزی ی آن، تقرب او با تلاش به تعیین a_k به طوری که بیشترین مقدار را داشته باشند انجام شد. وی سپس از برای تقریب خود استفاده کرد. به این ترتیب او ۷/۲۰۶=(۱؛۲،۲؛۲۹) را برگزید؛ چرخ زحل ۲۰۶ دندانه داشت در حالی که موتور چرخ آن ۷ دندانه داشت. استفاده از این اعداد مستلزم آن بود که چرخ زحل هر ۱۳۴۶ سال یکبار یک دندانه به جلو برده شود.
پی یتر و کاتالدی (۶) (۱۶۱۳) نخستین کسی بود که کار روی نظریه ی کسرهای مسلسل را آغاز کرد و نیز در رساله ای که در بولونیا درباره ی یافتن ریشه های دوم اعداد منتشر شد، انگیزه ی خود برای نمادگذاری ای را که بعداً توسط هویگنس به کار رفت مطرح کرد.
لئونهارت اویلر (۱۷۳۷) پایه های نظریه ی امروزی را تحکیم بخشید و نشان داد که هر درجه ی دوم گنگ را می توان با یک کسر مسلسل مکرر (یا تناوبی) ساده نمایش داد؛ به این ترتیب را می توان به شکل زیر نیز نوشت:

به صورت فشرده تر،
وهان هاینریش لامبرت (۷)(۱۷۶۱) نشان داد که کسر مسلسل ساده زیر برای،

تناوبی و بنابراین درجه ی دوم گنگ
ژوزف لوئی لاگرانژ (۱۷۹۸) ثابت کرد که کسرهای مسلسل ساده، نمایش جواب های معادله های درجه دوم با ضرایب گویا هستند. مثلاً،
لاگرانژ نخستین شرح کامل همگرایی همگراها را هم ارائه کرد. او به طور کلی نشان داد (شکل [۳]-۱) که هر همگرای فرد کوچک تر از همه ی همگراها (در دنباله ی و هرهمگرای زوج بزرگ تر از همه ی همگراهای بعدی است. از این (و این حقیقت که C ها به میل می کنند) نتیجه می شود که، مثلاً اختلاف آدریان ماری لژاندر(۱۷۹۴) ثابت کرد که هر کسر مسلسل نامتناهی، گنگ است.
توماس یوانس استیلت یس (۸)(۱۸۹۴) رابطه ای بین سری های واگرا و کسرهای مسلسل همگرا پیدا کرد که امکان تعریف انترال گیری برای سری ها را به وجود آورد؛ انتگرال های استیلت یس، تا حدی نتیجه ی کار وی با کسرهای مسلسل است.